消防公司在虹口经济开发区注册后，需要向多个部门进行报备，以确保企业在该区域的合规运营。这些部门包括但不限于：

1. 消防监督管理部门

消防监督管理部门是消防工作的主管部门，负责对企业的消防安全进行监督和管理。消防公司注册后，需要向该部门提交相关材料，如消防设施布置图、消防安全管理制度等，经审核合格后方可取得相关许可证。

此外，消防监督管理部门还会定期对企业进行消防安全检查，确保企业消防设施的正常运行和员工的消防安全意识。

2. 安全生产监督管理部门

安全生产监督管理部门负责对企业的安全生产进行监督和管理，包括消防安全在内。消防公司注册后，也需要向该部门进行相关报备，如安全生产许可证申请等。

安全生产监督管理部门会对企业的生产环境、生产设施以及生产过程进行检查，以确保企业的安全生产达到相关标准。

3. 地方工商行政管理部门

地方工商行政管理部门是企业的注册管理部门，负责企业的工商登记和经营许可。消防公司注册后，需要向该部门提交相关的注册材料，并按规定缴纳相关费用，完成工商登记手续。

工商行政管理部门还会对企业的经营范围、法定代表人等进行核实，确保企业信息的真实性和合法性。

4. 地方质量技术监督部门

地方质量技术监督部门负责对企业的产品质量和技术水平进行监督和管理。消防公司注册后，如果涉及生产销售消防产品，也需要向该部门进行相应的报备。

地方质量技术监督部门会对消防产品的生产工艺、质量检测等方面进行审核，确保产品符合相关标准和法规要求。

综上所述，消防公司在虹口经济开发区注册后，需要向消防监督管理部门、安全生产监督管理部门、地方工商行政管理部门和地方质量技术监督部门等多个部门进行报备，以确保企业合规运营，保障消防安全和产品质量。